直线和椭圆有公共点问题的四种解法.doc

1 直线和椭圆有公共点问题的四种解法浙江省嵊州市第二中学( 312400 )吴文尧题目:设 0 ≤θ≤π,直线 l: xcos θ+ysin θ=2 和椭圆 126 22?? yx 有公共点。求: θ的取值范围。解法一: (判别式法) ① cos θ=0 时,直线 l 的方程为: y=2 ,此时直线和椭圆相离。② cos θ≠ 0 时,直线 l 的方程为: x= - ytan θ+2sec θ代入椭圆方程: x 2 +3y 2 - 6=0 可得: (3+tan 2θ)y 2- 4sec θ tan θ·y +4tan 2θ- 2=0 由△= 16sec 2θ· tan 2θ- 4(3+tan 2θ) (4tan 2θ- 2)≥0 解得 tan 2 θ≤ 1 ,又∵0 ≤θ≤π, ∴θ∈???????????????,4 34 ,0?。评注:判别式法是处理直线和圆锥曲线位置关系最常规的方法,思想方法较简单,但有时运算较复杂。解法二: (三角代换法)把椭圆 126 22?? yx 的参数方程????????? sin 2 cos 6y x 代入直线l 的方程可得 2 sin sin cos cos 3??????,即: ???? 22 sin cos 3 sin sin???????? 2222 sin cos 3 2 sin cos 3 cos 3 cos?????即?? 1 cos 2 2 sin 2??????(其中 1 cos 2 sin cos 2?????) ……………………①由题意可知关于α的方程①有解,∴|1 cos 2 2| 2??≤1,∴2 1 cos 2??,∵0 ≤θ≤π,∴?????????????????,4 34 ,0?。2 评注: 本解法的可取之处在于通过三角代换把关于 x,y 的方程问题转化为关于α的方程问题,对关于两曲线有公共点的问题用这种方法解之往往能收到事半功倍的效果。解法三:( 椭圆化圆法) 作坐标变换:?????????2 ' 6yy xx 则在 x' oy' 中椭圆的方程可化为:x' 2 +y ' 2 =1 , 直线 l 的方程:2' sin 2' cos 6????yx??易见在 x' oy' 中直线l 和圆