直线和椭圆有公共点问题的四种解法.doc

直线和椭圆有公共点问题的四种解法
浙江省嵊州市第二中学(312400)吴文尧
题目:设0≤θ≤π,直线l:xcosθ+ysinθ=2和椭圆有公共点。求:θ的取值范围。
解法一:(判别式法)① cosθ=0时,直线l的方程为:y=2,此时直线和椭圆相离。② cosθ≠0时,直线l的方程为:x=-ytanθ+2secθ代入椭圆方程:x2+3y2-6=0可得: (3+tan2θ)y2-4secθtanθ·y +4tan2θ-2=0 由△= 16sec2θ·tan2θ-4(3+tan2θ) (4tan2θ-2)≥0解得tan2θ≤1,又∵0≤θ≤π,∴θ∈。
评注:判别式法是处理直线和圆锥曲线位置关系最常规的方法,思想方法较简单,但有时运算较复杂。
解法二:(三角代换法)把椭圆的参数方程代入直线l的方程可得,即:
即(其中)……………………①
由题意可知关于α的方程①有解,∴≤1,∴,∵0≤θ≤π,∴。
评注:本解法的可取之处在于通过三角代换把关于x,y的方程问题转化为关于α的方程问题,对关于两曲线有公共点的问题用这种方法解之往往能收到事半功倍的效果。
解法三:(椭圆化圆法)作坐标变换:则在x'oy'中椭圆的方程可化为:x'2+y'2=1,直线l的方程:易见在x'oy'中直线l和圆(原椭圆)仍有公共点,∴原点O(圆心)到直线l的距离d=≤1,即(以下同解法二)
评注:本解法把直线和椭圆的位置关系问题转化为直线和圆的位置关系问题,极大地简化了运算过程。
解法四:(巧用不等式) ∵,
∴∴(以下同解法二)
评注:①本解法的可取之处是利用“1”的代换:巧妙地利用柯西不等式,使问题得到简捷的解决。
②上述四种解法的基本思路均是由条件得到关于θ的目标不等式,然后解这个目标不等式得到最后结论,不同之处仅在于目标不等式的建立过程。