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第卷第期贵阳学院学报自然科学版季刊.

年月.
四点共圆的判定及其应用
刘合财
贵阳学院数学与信息科学学院,贵州贵阳
摘要:主要讨论了四点共圆的判定问题,给出了几个判定定理,并相应地得出了证明四点共圆的几种证法,
最后给出了判定四点共圆的几个应用实例。
关键词:四点共圆;凸四边形;反证法
中图分类号: 文献标识码: 文章编号:—一—

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四点共圆的几种证法,最后给出了其在求解诸如高
考数学题目中的实际应用。
引言
四点共圆的判定定理
如果同一平面内的四个点在同一个圆上,则称
这四个点共圆,通常简称为“四点共圆”。关于“四定理若线段同侧两点到线段两端点连线
点共圆”,其基本性质已被大家熟知,如:圆弧所对夹角相等,则这两点和线段的两端点四点共圆。
的圆周角相等;圆内接四边形的对角互补;圆内接证:如图,已知点、在同侧,.≠,
四边形的外角等于内对角,等等。然而,在参加要证、、、四点共圆。事实上,由、、尸可确定
年全国高考理科数学第题的试卷评阅中, 一个圆,下证点必在该圆上。反证法,假设点不
笔者发现不少考生甚至高中数学教师对四点共圆在该圆上,则点在该圆外部或内部。如果点在
的判定似是而非,模棱两可,缺乏系统的、深入的研该圆外部,如图,则,这与,:矛
究和认识。文中给出了几种常用的四点共圆的盾,故点不会在该圆外部。如果点在该圆内部,
证法,并举例说明。文得出了一种满足三个基如图,则。:,这也与:矛盾,故
本条件的“四点共圆”的判定方法。文特别针点不会在该圆内部。因此,点必在该圆上,即、
对圆锥曲线讨论了关于四点共圆的几个定理。本、、四点共圆。
文主要讨论四点共圆的判定问题,给出了几个判定定理也可表述为:共底边的两个三角形顶角
定理并运用反证法等进行证明,相应地得出了证明相等,且在底边的同侧,则这四个顶点共圆。
收稿日期:—一
资助项目:贵阳学院教学团队建设项目数学建模教学团队
作者简介:刘合财一,男,贵州绥阳人,贵阳学院数学与信息科学学院副教授,硕士。主要研究方向:函数论,应用概率统计。
一—
图图图
定理若凸四边形的对角互补,则该四边形质,得: 。,又因厶
的四个顶点共圆。。,从而,这与三角形外角定理矛
证:如图,已知在凸四边形中, 盾,故点不会在该圆外部。类似地,可证点不会
。,要证、、、四点共圆。在该圆内部如图。因此,点必在该圆上,即、
事实上,由、、可确定一个圆,下证点必、、四点共圆。
在该圆上。反证法,假设点不在该圆上,则点在定理也可表述为:凸四边形的一个外角等于
该圆外部或内部。如果点在该圆外部,如图,设其内对角,则该四个顶点共圆。
交该圆于,连接,根据圆内接四边形的性




图图图
定理和定理均是根据四点所成角度的情况来× ×,则、、、四点共圆。
判定四点共圆,这是最常用、最基本的判定方法。如图所示。定理也可表述为:在凸四边形
此外,还可以根据四点所成线段长度的情况来进行中,、相交于点,如果×
判定,有以下判定定理: ,贝、、、四点共圆。
定理托勒密定理的逆定理在凸四边形定理