定积分的近似计算.ppt

定积分的近似计算99260
定积分的近似计算99260
下面来估计梯形法的误差。第 个小曲边梯形的面积为 ，做变换 ，则
当在 区间 上连续时，利用分部积分法可以证明：
设 为 在区间 上的最大值，则第 个小曲边梯形与相应的梯形面积之差的绝对值估计如下：
于是，梯形法的绝对误差为
，要求误差不超
过 。
解：设 ，则 ，显然
在区间 上的最大值为 。下面我们根据梯形法利用Mathematica编程，在程序中，定义了 等分时的梯形公式 ，并采用“Do”命令进行循环直到满足精度要求或达到预定的循环次数为止，每次循环要求输出 及 。输入命令如下：
从运行结果看，循环到100次结束，最后输出“fail”，这表明没有达到精度要求，如把n0的值改为200，再次运行，发现循环到n=130时结束，此时达到精度要求，积分的近似值为：
3、  抛物线法
梯形法的近似过程是在每个小区间中用直线段来近似被积函数段，即逐段地用线性函数来近似被积函数。为了进一步提高精确度，可以考虑在小范围内用二次函数来近似被积函数，这种方法称为抛物线法，也称为辛普森（Simpson）法。具体方法如下：
用分点 ，将积分区间n等分（这里要求n为偶数），各分点对应的函数值为
，即 。我们知道平面上三点可以确定一条抛物线
，而相邻的两个小区间上经过曲线上的三个点，则由这三点做抛物线（因此抛物线法必须将区间等分为偶数个小区间），把这些抛物线构成的曲边梯形的面积相加，就得到了所求定积分的近似值。
下面计算在区间 上以抛物线为曲边的曲边梯形面积。为此，先计算区间 上，以过三点
的抛物线 为曲边的曲边梯形面积 ：
由
得：
故
取 ，则上面所求的 等于区间 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积。同理可以得到区间 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积
于是，将这 个曲边梯形的面积加起来，得到定积分的近似值为（设 ）：
上式称为辛普森公式或抛物线公式。用这个公式求定积分的近似值时，其绝对误差可以证明
不超过 ，其中 是 在区间
上的最大值。
例1  用抛物线法近似计算 ，要求误差不超过 。
解：设 ，可由命令D[f[x],{x,4}]得到 的四阶导函数为：
显然 在区间 上的最大值为 。下面根据抛物线法的思想利用Mathematica编程，在程序中，与例2一样，定义了等分 时的抛物线公式 ，并采用“Do”命令进行循环直到满足要求或达到预定的循环次数为止，每次循环要求输出 及 。输入命令如下：
从运行结果看，循环到 时因达到精度要求结束循环，并得到积分的近似值为：。从例