泰勒公式例题.doc

泰勒公式例题
泰勒公式及无穷小变换的应用
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泰勒公式及其应用
等价无穷小在求函数极限中的应用及推广
不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求的近似值.
在的展开式中以代替 x得
逐项积分,得
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上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项的估计式知
利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值
如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项的系数正是,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.
求函数在x=1处的高阶导数.
解 设x=u+1,则
,,
在u=0的泰勒公式为
,
从而
,
而g(u)中的泰勒展开式中含的项应为,从g(u)的展开式知的项为,因此
,
.
利用泰勒公式求行列式的值
若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.
例 求n阶行列式
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D= （1）
解 记,按泰勒公式在z处展开：
, （2）
易知
（3）
由（3）得,.
根据行列式求导的规则,有
于是在处的各阶导数为
,
,
… … … …
把以上各导数代入（2）式中,有
若,有,
若,有.
总结
本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.
泰勒公式及无穷小变换的应用
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无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大

前面我们研究了数列的极限、（、）函数的极限、（、）函数的极限这七种趋近方式。下面我们用
＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊
定义：当在给定的＊下，以零为极限，则称是＊下的无穷小，即。
例如,


【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。
定义： 当在给定的＊下，无限增大，则称是＊下的无穷大，即。显然，时，都是无穷大量，
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
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， ，
所以当时为无穷小，当 时为无穷大。
2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，
则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。
小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
:
定理1 其中是自变量在同一变化过程（或）中的无穷小.
证：（必要性）设令则有
（充分性）设其中是当时的无穷小，则

【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
（2）

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
如：，，
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限