复合函数概念及复合函数单调性.doc

即
复合函数的概念及复合函数的单调性
1．复合函数的概念
如果 y

是 w的函数， w又是 x

的函数，即

y = f (w)

，

w =g ( x)

，那么 y

即
复合函数的概念及复合函数的单调性
1．复合函数的概念
如果 y

是 w的函数， w又是 x

的函数，即

y = f (w)

，

w =g ( x)

，那么 y

关于

x

的函数

y = f [ g ( x)]

叫做
函数

y = f (w)

和

w =g ( x )

的复合函数，其中 w是中间变量，自变量为 x ，函数值 y

。
例如：函数

1
y =( )
3

x

2

-2 x

是由

1
y =( )
3

m

，

m =x 2 -2 x

复合而成立。
函数

y =lg(3 +4 x -x 2 )

是由

y =lg w ，w =3 +4 x -x

2

复合而成立， m 、 w是中间变量。
2．复合函数单调性 一般地，
定理：设函数

w =g ( x)

在区间

M

上有意义，函数

y = f (w)

在区间

N

上有意义，且当

x ÎM

时，

w Î N
有以下四种情况：
（1）若
（2）若

w =g ( x )
w =g ( x )

在
在

M
M

上是增函数，
上是增函数，

y = f (w)
y = f (w)

在
在

N
N

上是增函数，则
上是减函数，则

y = f [ g ( x)]
y = f [ g ( x)]

在
在

M
M

上也是增函数；
上也是减函数；
（3）若
（4）若

w =g ( x ) 在 M 上是减函数， y = f (w) 在 N 上是增函数，则
w =g ( x ) 在 M 上是减函数， y = f (w) 在 N 上是减函数，则

y = f [ g ( x)] 在 M 上也是减函数；
y = f [ g ( x)] 在 M 上也是增函数。
同增异减
注意：内层函数

w =g ( x)

的值域是外层函数

y = f (w)

的定义域的子集。
例 1、讨论下列函数的单调性（注意：要求定义域）
（1）
1
y =( )
3

x

2

-2 x

（2）

y =lg(3 +4 x -x 2 )
解：
练习 1：
1．求下列函数的单调区间。
（1）

y =2

x 2-5x +2

（2）

y =log ( x 1

2