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2023全国卷1数学答案(同名4483)
2023年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
〔1〕D〔2〕B〔3〕C〔4〕
2023全国卷1数学答案(同名4483)
2023年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
〔1〕D〔2〕B〔3〕C〔4〕B〔5〕A〔6〕A〔7〕D〔8〕C〔9〕C〔10〕B〔11〕A〔12〕B
二、填空题：本大题共4小题，每题5分
(13) (14)10 〔15〕64 〔16〕
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.
〔17〕〔本小题总分值为12分〕
解：〔I〕由及正弦定理得，，
即．
故．
可得，所以．
〔II〕由，．
又，所以．
由及余弦定理得，．
故，从而．
所以的周长为．
〔18〕〔本小题总分值为12分〕
解：〔I〕由可得，，所以平面．
又平面，故平面平面．
〔II〕过作，垂足为，由〔I〕知平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如下图的空间直角坐标系．
由〔I〕知为二面角的平面角，故，那么，，可得，，，．
由，，所以平面．
又平面平面，故，．
由，可得平面，所以为二面角的平面角，
．从而可得．
所以，，，．
设是平面的法向量，那么
，即，
所以可取．
设是平面的法向量，那么，
同理可取．那么．
故二面角的余弦值为．学科&网
〔19〕〔本小题总分值12分〕
解：〔Ⅰ〕由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，，，，，从而
；
；
；
；
；
；
.
所以的分布列为
16
17
18
19
20
21
22
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，，故的最小值为19.
〔Ⅲ〕记表示2台机器在购置易损零件上所需的费用〔单位：元〕.
当时，
.学科&网
当时，
.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.
20.〔本小题总分值12分〕
解：〔Ⅰ〕因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
〔〕.
〔Ⅱ〕当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
那么，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.学科&网
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
〔21〕〔本小题总分值12分〕
解：〔Ⅰ〕．
〔i〕设，那么，只有一个零点．
〔ii〕设，那么当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，取满足且，那么
，
故存在两个零点．
〔iii〕设，由得或．
假设，那么，故当时，，因此在上单调递增．又当时