平行四边形常用的证明方法.pdf

平行四边形常用的证明方法
一利用平行四边形的相关定理证明
1.(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形
例题:已知在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠:四边形ABCD是平行四边形
证明:∵∠A=∠C,∠B=∠D,又∵∠平行四边形常用的证明方法
一利用平行四边形的相关定理证明
1.(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形
例题:已知在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠:四边形ABCD是平行四边形
证明:∵∠A=∠C,∠B=∠D,又∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600,∴∠A+∠B=∠C+∠D=1800,∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
例题:如图,□ABCD中,点E、F分别在边BC和AD上,且∠BAE=∠:四边形AECF是平行四边形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,AB=CD,AD=BC,又∵∠BAE=∠DCF,∴△BAE≌△DCF,∴
AE=CF,BE=DF,∵AD=BC,∴AF=EC,∴四边形AECF是平行四边形
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
例题:如图,在□ABCD中,点E、F分别在CD、AB的延长线上,且AE=AD,CF=:四边形AFCE是平
行四边形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠ABC,∠BAD=∠DCB,∴∠ADE=∠CBF,∴AE=AD,CF=CB,∴∠
EAD=∠ADE,∠CBF=∠FCB,∵∠ADC=∠ABC,∴∠EAD=∠BCF,∴∠EAD+∠BAD=∠BCF+∠DCB,即∠EAF=∠ECF,∵
∠EAD=∠BCF,∠EAD=∠ADE,∠CBF=∠FCB,∴∠EAD=∠ADE=∠CBF=∠FCB,∴∠E=∠F,∴四边形AFCE是平行四
边形
(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
例题:如图,□AECF的对角线交于点O,DB经过点O,分别与AE,CF交于B,:四边形ABCD是平
行四边形
证明:∵四边形AECF是平行四边形,∴AO=CO,∠FCA=∠CAE,∵∠DOC=∠AOB,∴△AOB≌△COD,∴DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形
(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
例题:如图,□ABCD中,AM=(2/3)AB,CN=(2/3):四边形AMCN是平行四形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵AM=(2/3)AB,CN=(2/3)CD,∴AM∥CN,AM
=CN,∴四边形AMCN是平行四形
2.(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形
例题:如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形,求证:四边形ADCE是矩形
证明:∵AB=AC,D为BC中点,∴AD⊥BC,BD=DC,∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE=BD,AE∥BD,∵A、
D、C在一条直线上,∴AE=CD,AE∥CD,∴四边形ADCE是平行四边形,∵∠ADC=900,∴四边形ADCE是矩形
-1-(2)有三个角是直角的四边形是矩形
例题:如图,BD,BE分别是∠ABC与它的邻补角∠⊥BE,AD⊥BD,E,D为垂足,