高三数学加试知识点总结排列概率矩阵.doc

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:
(1)定义:完成一件事情有几类方法,各类办法相互独立,每类办法中又有多种不同的办法,则完成这件事的不同方法数是各类不同方法种数的和,这就是分类计数原理
完成一件事情,需要分成n个步骤,每步的完成有多种不同的方法,则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积,这就是分步计数原理
(2)联系:都涉及完成一件事的不同方法的种数
区别:分类计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都能完成这件事;分步计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事都能完成.
。
:
(1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;
(2)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作:
排列数公式:____________________=___________________
_____________________
:
(1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作:
组合数公式:________________=_____________________
性质:
(1)_____________(2)___________________
二、二项式定理
:______________________________________
展开式具有以下特点:
项数:共有n+1项;
系数:依次为组合数
每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幕排列,b的升幕排列展开.
二项展开式的通项:展开式中的第项为:_________________
注意:对于(a+b+c)n的展开式往往先变形为(c+d)n的形式;有时也通过组合来解决,要注意不重不漏.
通项为第r+1项:Tr+1=Cnran-rbr作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题
⑤二项式系数的性质.
(1)在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;(对称性)
(2)二项展开式的中间项二项式系数最大.
,中间项是第项,它的二项式系数________最大;
,中间项为两项,即第项和第项,它们的二项式系数____________最大.
(3)系数和:
所有二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n
奇数项二项式系数的和=偶数项二项式系数的和:Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n -1
注意二项式系数与项的系数(字母项的系数,指定项的系数等,指运算结果的系数)的区别,在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。
三、概率
:一般地,如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量。
如果按一定的次序能一一列出,这样的随机变量就叫做离散型随机变量;
如果随机变量可取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量
:x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi(i=1,2,…,n,…)的概率P(ξ=xi)=pi,(i=1,2,…,n,…)称为随机变量ξ的概率分布列,则称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
为随机变量ξ的概率分布表,两者都称为随机变量ξ的概率分布.
具有性质:(1)pi≥0,i=1,2,…,n,…;(2)p1+p2+…=1
注:随机变量X只取两个可能值0和1,这类分布称为0-1分布或两点分布,记为:X~0-1分布或X~两点分布.
,其中有M件不合格品,随机取出的n件产品中,不合格品数X的概率分布如下表其中L=min(n,M)
X
0
1
2
…
L
P
…
一般地,若一个随机变量X的分布列为P(X=r)=_______________,其中r=0,1,2,…,L,L=min(n,M)
总体中个体总数
样本中不合格品数
则称X服从超几何分布,记为:X~H(n,M,N),并将P(X=r)=,记为:H(r;n,M,N).
不合格品总数
样本容量
H(r;n,M,N)
注:超几何分布是有限样本不放回抽样.
:一般地,若有两个事件A和B,在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率,则称此概率为B已发生的条件下A的条件概率,记为:P(A
┃B)
特别地,当A和B互斥时,P(A┃B)=_______
:若P(B)>0时,则事件B已发生的条件下事件A发生的条件概率是___________

(1)若P(A┃B)=P(A),则称事件A,B独立;如果A,B独立,则B,A也独立,因此,可称A,B相互独立,并且___,_____,____均相互独立。
(2)事件A,B是相互独立事件,它们同时发生记作:_______
两个相互独立事件同时发生的概率等于每一个事件发生的概率的积,即:P(A·B)=P(A)P(B)
一般地,如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每一个事件发生的概率的积,即:P(A1A2…An)=________________________
评注:已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B)
(1)A+B表示:A,B中至少有一个发生(2)A·B表示:A,B都发生
(3)表示:A,B都不发生(4)表示:A,B恰有一个发生
(5)表示:A,B中至多有一个发生
A、B互斥
A、B相互独立
P(A+B)
P(A·B)
P()
:一般地,由n次试验构成,且每次试验相互独立完成,每次试验的结果仅有两种对立状态,即A和,每次试验中P(A)=p>0,我们将这样的试验称为n次独立重复试验,也称伯努利试验.
如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个恰好发生k次的概率为Pn(K)=______________,k=0,1,2…,n
:如果在第一次试验中某事件发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率是:P(ξ=k)=,其中k=0,1,2…,n,q=1-p,
于是,得到随机变量ξ的分布列为:
ξ
0
1
…
k
…
n
p
…
…
由于恰好是二项展开式(q+p)n=++…++…+
中的第k+1项(k=0,1,2…,n)中的各个值,故称随机变量ξ的二项分布,记作:ξ~B(n,p)
注:两点分布是特殊的二项分布.
,若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称x1p1+x2p2+……+xipi+……+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,记为:E(X)或μ,
即:E(X)=_______________________,它反映了随机变量取值的平均水平.
、二项分布、超几何分布的均值
(1)若X服从两点分布,则E(X)=p;(2)若X~B(n,p),则E(X)=np;
(3)若X~H(n,M,N),则E(X)=
注:若η=aξ+b,其中a,b是常数,则η也是随机变量,数学期望为:E(η)=aEξ+b
,若离散型随机变量X的概率分布如下表表示
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi-μ)2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值μ的偏离程度,
故(x1-μ)2p1+(x2-μ)2p2+…+(xn-μ)2pn(其中pi≥0,i=1,2,…,n,p1+p2+…+pn=1)刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度,我们将其称为离散型随机变量X的方差,记为:V(X)或σ2
即:V(X)=__________________=_____________________
(X)的算术平方根称为X的标准差,即:σ=
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,随机变量偏离于均值的平均程度就越小.
13.(1)V(aX+b)=a2V(X)(2)若X服从两点分布,则V(X)=p(1-p);
(3)当X~H(n,M,N),则V(X)=(4)若X~B(n,p),则V(X)=np(1-p).四、空间向量
基本计算
:(1)若,,则___________________________________=_____________;若,,则.
,
:若=(x,y,z)是平面的法向量,如果无其它条件限制,有无数个,而与内两相交直线垂直,故只能列出关于x、y、z的两个方程,因此只能求出其中的两个,为方便,我们这里设法向量=(x,y,1),当然也可以设法向量为=(x,2,z)、=(0,y,z)等。

(1)求线线角:设异面直线AB、CD所成的角为,则有cos=|cos〈,〉|
(2)求线面角:,设直线AB与平面所成的角为,是的法向量,则有sin=|cos〈
,〉|
注意:得到的角是法向量与直线的夹角,并不是直线和平面成的角;
斜线与平面成角为,或
(3)求二面角:设二面角为,,分别是的法向量,则有cos=cos〈,〉
,cos=,但不能据的符号判断二面角是钝角,还要根据图形辨别;
典型例题:
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点,求:
(1)A1D与EF所成角的大小;
(2)A1E与平面B1FB所成角的余弦值;
(3)平面B1FE与平面B1BD所成的锐二面角的余弦值.
,四边形ABCD是正方形,PB^平面ABCD,MA∥PB,PB=AB=2MA.
(1)求直线BD与平面PCD所成的角的大小;
A
B
C
D
P
O
M
(2)求平面PMD与平面ABCD所成的二面角(锐角)的余弦值.
P
D
C
B
A
E
-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥面PAC.
,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,顶点D1在底面ABCD上的射影O是CD的中点,侧棱与底面所成的角为60
°.求二面角C-AD1-O的余弦值.
A
B
C
D
O
A1
B1
C1
D1