初中数学竞赛——圆4.四点共圆.pdf

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第1讲四点共圆
典型例题

【例1】如图,P为△ABC内一点,D、E、F分别在BC、CA、、
D、C、E四点共圆,P、E、A、F四点共圆,求证:B、D、P、F四
点共圆.
【例2】如图7-55,在梯形ABCD中,AD∥BC,过B、C两点作一圆,AB、CD的
延长线交该圆于点E、:A、D、E、F四点共圆.
【例3】如图,⊙O、⊙O相交于A、B两点,P是BA延长线上一点,割线PCD交
12:.
⊙O于C、D,割线PEF交⊙O于E、F,求证:C、D、E、F四点共
12
圆.
如图7-56,在△ABC中,AD=AE,BE与CD交于点P,DP=EP,求证:B、
【例4】
C、E、D四点共圆.
【例5】如图,已知△ABC是⊙O的内接三角形,⊙O的直径BD交AC于E,AFBD
于F,延长AF交BC于G,求证:AB2BGBC.
:.
如图7-63,在的对角线上,任取一点P,过点P作AB、CD的
【例6】□ABCD
公垂线EG,又作AD、:EF//GM.
【例7】如图7-66,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,DE⊥AC,AF⊥BD,点E、
:EF//BC.
如图7-60,已知△ABC,AB、AC的垂直平分线交AC、AB的延长线于点
【例8】
F、:E、F、C、B四点共圆.
:.
如图,已知:,:是等
【例9】ABDACD60ADB90BDC△ABC
2
腰三角形.

【例10】如图7-61,在⊙O中,AB∥CD,点P是AB的中点,CP的延长线交⊙O
于点F,又点E为弧BD上任一点,:P、G、E、
D四点共圆.
如图7-62,在△ABC中,∠BAC为直角,AB=AC,BM=MC,过M、C任作
【例11】
一圆,与AC交于点E,BE与圆交于F点,求证:AF⊥BE.
:.
如图7-64,P为△ABC外接圆一任意一点,点P到△ABC三边的垂足
【例12】
分别为D、E、F三点成一直线.
【例13】如图7-65,在□ABCD中,过D、B两点作一圆,交平行四边形四条边(或
它们的延长线)于点E、F、G、:EF//GH.
【例14】如图7-67,AB为半圆的直径,弦AC、BD相交于点H,HP⊥:
∠1=∠2.
:.
【例15】如图7-68,四边形ABCD是正方形,点E为BC上的任一点,AE⊥EF,
EF交∠:EA=EF.
在等边三角形中,、分别是边、上的点,且有1,
【例16】ABCDEBCACBDCECD
2
连结BE、AD交于点P,求证:CPAD.
【例17】设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,垂足为E,证明:点E关
于AB、BC、CD、DA的对称点共圆.
:.
【例18】证明:三角形的三条高交于一点.
【例19】已知在凸五边形ABCDE中,BAE3,BCCDDE,且
BCDCDE1802,求
证:BACCADDAE.
A
BE
CD
【例20】如图所示,设N是正九变形,O为其外接圆的圆心,PQ和QR是N的两
相邻边,A为PQ的中点,而B为垂直于QR的圆半径的中点,试求AO与
AB的夹角.
:.
【例21】如图,已知△ABC内接于⊙O,AD、BD为⊙O的切线,作DE∥BC,交AC
于E,连结EO并延长交BC于F,求证:BFFC.
A
E
D
O
FC
B
【例22】如图,在凸四边形ABCD的BC边上取E和F(点E比F更靠近点B).已
知BAECDF及EAFFDE,证明:FACEDB.
:.
【例23】如图,在平行四边形ABCD中,BAD为钝角,且AEBC,AFCD.
(1)求证:A、E、C、F四点共圆;
(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、:BMND.
AD
N
MF
BEC
【例24】正方形ABCD的中心为O,面积为2009,P为正方形内的一点,且OPB45,
PA:PB4:5,求PB.
CB
O
P
DA
【例25】如图,已知△ABC中,AH是高,AT是角平分线,且TDAB,TEAC.
求证:(1);(2)BHCH.
【例26】AHDAHE
BDCE:.
A
D
E
BC
TH
【例27】如图,⊙O为△ABC的外接圆,BAC60,H为AC、AB上高BD、CE的
交点,在上取点,,求证:.
BDMBMCHOM、OHOMOH
【例28】如图,CD是O的直径,弦AE交CD于点Q,点B是弧DE上一点,BC和
CD,垂足为M,求证:QF∥AB.
【例29】:.
B
E
F
N
CD
QOM
A

【例30】如图,四边形ABCD中,ABACAD,若CAD76,BDC13,则CBD
_______,
BAC__________.
A
D
B
C
【例31】已知凸四边形ABCD,BAC2BDC,CAD2CBD,求证:ABACAD.
:.
思维飞跃
【例32】如图,直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C,P为圆上一点,P到AB、AC
得距离分别为4、9,试求P到BC的距离.
B
D
PF
AO
E
C
【例33】如图,△ABC中,ACB90,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分
线AM、BN分别交于P、、QN的中点分别为E、:
.
EF//AB
:.
【例34】如图,已知P是正△:
PA2AC2PBPC.
【例35】如图,PA、PB切圆O于A和B,PO交AB于M,过M任作一弦CD,求证:
APCBPD.
:.
【例36】如图,AB为⊙O的直径,P为⊙O外一点,过P引圆O的两条切线,切
点分别为C、D,AD与BC交于点E,求证:EPAP.
作业
△ABC中,三条高AD、BE、:点H是△DEF的
内心.
,AD为圆的切线,FB和DB是圆的割线,分别交圆于E、
C,求证:BEBFBC:.
△ABC中,ABAC,AD是高,P为AC上任一点,PC的中垂线RQ交AD
于R,求证:RPBDAC.
,设四边形ABCD的两组对边AB、DC及AD、BC的交点分别为E、
E、F的平分线互相垂直,则A、B、C、D四点共圆.
:.
,PA、PB切⊙O于A、B两点,过P作割线交⊙O于C、D,过B作BE∥CD,
连结AE交PD于M,求证:M为DC的中点.
,切点为A、B,所作割线交圆于
C、D两点,C在P、,使DAQ:
DBQPAC.
A
D
Q
C
P
B