初中数学竞赛圆4四点共圆.docx

第1讲四点共圆
典型例题
【例1】 如图，P为△ ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、、
D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四 点共圆.
【例2】如图7-55, B两点作一圆，交平行四边形四条边（或
它们的延长线）于点E、F、G ：EF/ GH
【例14】如图7-67, AB为半圆的直径，弦 AC BD相交于点H, HP!AB,求证:
/1 = /2.
【例15 ]
如图7 — 68,四边形ABC医正方形，点
E为BC上的任一点，AE! EF,
EF交/:
EA=EF.
图 7-68
【例16】在等边三角形ABC中，D、E分别是边bc、ac上的点，且有皿ce 2cd， 连结BE、AD交于点 P ,求证：CP AD .
【例17】设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E,证明：点E关
于AB、BC、CD、DA的对称点共圆.
【例18】证明：三角形的三条高交于一点.
【例19】已知在凸五边形ABCDE 中，
BAE 3 , BC CD DE , 且
BCD CDE 1802 ,求
证： BAC CAD DAE .
【例20】
如图所示，设N是正九变形，O为其外接圆的圆心，PQ和QR是N的两
相邻边，A为PQ的中点，而B为垂直于QR的圆半径的中点，试求AO与
AB的夹角.
【例21 ]
如图，已知△ ABC内接于。O , AD、BD为。。的切线，作DE // BC ,交AC 于E ,连结EO并延长交BC于F ,求证：BF FC .
【例22】
如图，在凸四边形ABCD的BC边上取E和F
知 BAE CDF 及 EAF FDE ,证明:
FAC
（点E比F更靠近点B）.已
【例23］如图，在平行四边形 ABCD中，BAD为钝角，且AE BC , AF CD .
(1)求证：A、E、C、F四点共圆；
(2)设线段BD与(1)中的圆交于M、N .求证：BM ND.
【例24】正方形ABCD的中心为O ,面积为2009, P为正方形内的一点，且 OPB 45 ,
PA: PB 4:5，求 PB .
【例25］如图，已知4ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD AB, TE AC.
【例 26】求证：(1) AHD AHE ； (2) BH CH .
BD CE
A
【例27】如图，。。为△ ABC的外接圆，BAC 60), H为AC、AB上高BD、CE的
交点，在BD上取点M ,使BM CH .连结OM、OH ,求证：OM OH .
【例28］如图，CD是0O的直径，弦AE交CD于点Q ,点B是弧DE上一点，BC和
DE交于点 F . AB CD , 垂足为 M , 求证： QF // AB .
【例29】

【例30］如图，四边形ABCD中，AB AC AD ,若 CAD 76 , BDC 13 ,贝U CBD _)
BAC
【例31】已知凸四边形ABCD, BAC 2 BDC, CAD 2 CBD ,求证：AB AC AD .
思维飞跃
【例32】如图，直线AB和AC与。0分别相切于B、C, P为圆上一点，P AB、AC
得距离分别为4、9 ,试求P到BC的距离.
【例33】如图，4ABC中，ACB 90：1 ? AB边上的高线CH与△ ABC的两条内角平分
线AM、BN分别交于P、、QN的中点分别为E、:
EF//AB .
【例34】如图
已知P是正△ ：
_2_2
PA AC PB PC .
【例35］如图，PA、PB切圆。于A和B , PO交AB于M ,过M任作一弦CD ,求证:
APC BPD .
【例36］如图，AB为。。的直径，P为。。外一点，过P引圆O的两条切线，切
点分别为C、D, AD与BC交于点E,求证：EP AP .
作业
.在锐角△ABCt\三条高AD BE ：点H是4DE用勺
内心.
.已知AB是圆的直径，AD为圆的切线，FB和DB是圆的割线，分别交圆于E、
C ,求证： BE BF BC BD .
3.
已知△ ABC中，AB AC, AD是高，P为AC上任一点，PC的中垂线RQ交