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四点共圆的例证与应用
【摘要】本文主要论述了与四点共圆相关的问题。包括两大部分:第一部分主要论述四点共圆的证明。有四种方法:;;,证其顶角相等;,证其对角互补或一个外角等于它的内对角。第二部分主要论及四点共圆的应用问题。?
【关键词】四点共圆;四边形内接于圆;两条平行弦;对角互补
在同一圆周上的称为共圆点,或称这些点共圆。比如:?
,不在同一直线上的三点必共圆。?
,不在同一直线上的四点,不一定共圆,这就产生了四点共圆问题。?
,四点以上是否共圆的问题,可先确定过其中三点或四点的一个圆,然后逐点研究其它点是否在此圆上,即可归结为四点共圆问题。?
怎样证明四点共圆呢?归纳起来有如下几种方法:?
方法一:根据圆的定义,证四点到某定点的距离相等。?
,则各切点共圆。?
已知:如图1,PA?1 、 PA?2、PA?3、和B?1 P、 B?2 P、 B?3 P、分别是同心圆O的切线。??
求证: A?1 、 A?2、 A?3、B?1 、B?2 、 B?3 各点共圆。?
证明:连接OP、OA?1 、OA?2 、OA?3 、 OB?1 、OB?2 、OB?3 ,设OP的中点为,连 O'A?1、 O'A?2、O'A?3 、与 O'B?1、 O'B?2、 O'B?3,则构成6个共斜边OP的直角三角形,其中线?
O'A?1= O'A?2= O'A?3= O'B?1= O'B?2=O'B?3 ?
∴ A?1 、A?2 、 A?3、B?1 、B?2 、 B?3 各点共圆。?
同理,其它同心圆的切点亦于上述各点共圆。?
方法二:证第四点在前三点所确定的圆上。?
,四边形ABCD内接于圆,另一圆的圆心在边AB上且与其余三边相切。求证:AD+BC=AB。????
证明:如图2,在AB上截取AE=AD,连接EC、ED、OC、OD,作ΔOCD的外接圆。?
∵ABCD内接于圆?
∴∠A+∠BCD=∠B+∠ADC=180°?
∴∠AED=∠ADE=12 (180°-∠A)= 12∠BCD=∠OCD?
∴点 E也在ΔOCD的外接圆上?
∴∠BEC=∠ODC= 12∠ADC= 12(180°-∠B)=∠BCE?
∴BE=BC ∴AD+BC=AE+EB=AB?
方法三:连四点成两个同底同侧的三角形,证其顶角相等。?
,AB和CD是⊙O内两条平行弦,M是CD的中点,BM的延长线交⊙O于点E。求证:A、E、M、O四点共圆。????
证明:连结MA、OE、OB,在?MOA和?MDB中,?
∠OEB=∠DBE ∠OAB=∠OBA?
∵MO垂直平分AB, ∴MA=MB?
∴∠MAB=∠MBA, ∠MAB-∠AED=∠MBA-∠OBA,?
即∠MAO=∠MBO=∠DEM,则A、E、M、O四点共圆。
?
方法四:连四点成一个四边形,证其对角互补或一个外角等于它的内对角。?
,两圆相交于A及B,过A任引一直线交此两圆