定积分应用
面积,弧长,
旋转体体积,
旋转曲面表面积
例1. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.
解:
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例2. 求连续曲线段
解:
的弧长.
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例3. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
解: 方法1 利用直角坐标方程
则
(利用对称性)
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方法2 利用椭圆参数方程
则
特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积
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例4. 求曲线
与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y=3 旋转得的旋转体体积.
解: 利用对称性,
故旋转体体积为
在第一象限
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旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.
取侧面积元素:
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侧面积元素
的线性主部.
若光滑曲线由参数方程
给出,
则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的
不是薄片侧面积△S 的
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注意:
侧面积为
设平面图形 A 由
与
所确定, 求
图形 A 绕直线 x=2 旋转一周所得旋转体的体积.
提示:
选 x 为积分变量.
旋转体的体积为
例6.
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若选 y 为积分变量, 则
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