四点共圆(三).docx

第二十六讲四点共圆(三)【典例精讲】例1、三角形ABC的内切圆O,切BC、CA于D、E两点,延长AO和ED交于G,求证:AG^BG。 AEFOGBDC例2、设O为圆的弦MN的中点,过O作弦AB、CD,连结AD、BC交于点F、E,求证:EO=FO。 DBMFENCA例3、如图,四边形A1A2A3A4内接于一圆,DA1A2A3的内心是I1,DA2A3A4的内心是I2,DA3A4A1:(1)A2、I1、I2、A3四点共圆;(2)ÐI1I2I3=90°。 A4I3A1I2A2I1A3例4、如图,O为两个同心圆的圆心,自圆外一点的切线AD、AE,求证:OB平分ÐDBE。A引大圆的切线AB,其切点为B,又自A引小圆 EAODB例5、设DADE内接于圆O,弦BC分别交AD、AE边于点F、G,且AB=AC,求证:F、D、E、G四点共圆。 AGCDEFB例6、如图,在圆的直径BA的延长线上取一点E,由E引割线ECD,并引AB的垂线EF,EF与BD、BC延长线的交点分别为F、G,求证:C、D、F、G四点共圆。 FDGCEAOB例7、设D是等腰直角三角形ABC底边BC的中点,过C、D两点(但不过点A)任作一圆交直线AC于点E,连结BE交此圆于点F,求证:AF垂直BE。 AFEBDC例8、(1)如图1,DABC中,AC=BC,点E,F分别在线段AC,BC上运动(不与端点重合),而且CE=BF,O是DABC的外心,试证明C,E,O,F四点共圆. CEOFAB图1(2)如果将图1中的点C“分离”成两个点,那么就有:如图2所示,在凸四边形ABCD中,AD=BC,点E,F分别在线段AD,BC上运动(不与端点重合),而且DE=BF,直线AC,BD相交于点P,直线EF,BD相交于点Q,直线EF,,F分别在线段AD,BC上运动(不与端点重合)时,探究DPQR的外接圆是否经过除点P外的另一个定点?如果是,请给出证明,并指出是哪个定点;如果不是,请说明理由. DCEPRQFAB图2例9、设⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,Y是⊙O1与⊙O2的切点,R、S分别是⊙O1、⊙O2与⊙O3的切点,连心线O1O2交⊙O1于点P,交⊙O2于点Q。求证:P、Q、R、S四点共圆。 PO1YO2QRSO【强化训练】1、在梯形ABCD中,AB//CD,AB>CD,K,M分别是腰AD、CB上的点,ÐDAM=ÐCBK,求证:ÐDMA=ÐCKB。 D3CMKAB2、如图,DABC的内切圆分别切AB、AC于点E、F,D是BC的中点,ÐB、ÐC的平分线分别与直线EF交于点N、M,证明:DM=DN。 AEMNIFBDC3、已知ABCD是平行四边形,DH^AB于H,BC中垂线MS交DH于点M,交BC于点S,AD中点为K。求证:ÐMKB=90°。2 DCMKSAHB4、由圆周上任一点P引弦AB的垂线PQ,垂足为Q,再由P点引过A、B两点的切线的垂线PR,PS,垂足分别为R、S,求证:PQ=PR×PS。 RPSABQO5、从圆心O作圆外任意直线l的垂线,垂足为A,从A引割线交圆于B、C两点,过B、C的两切线与l分别交于D、E两点,求证:AD=AE。 OCBlDAE6、如图,在等腰三角形ABC中,P为底边BC上任意一点,过点P作两腰的平行线分别与AB、AC相交于Q、R两点,又点P'是点P关于直线QR的对称点,求证:点P'在三角形ABC的外接圆上。