(完整word版)圆锥曲线的切线方程总结(附证明).docx

运用联想探究圆锥曲线的切线方程现行人教版统编教材高中数学第二册上、一点M(Xo,yo)的切线方程为XoXyoy线有且只有两条,过两切点的弦所在直线方程为将如何?我们不妨进行几个联想。2X~2ao o o第75页例题2,给出了经过圆xyr上;当M(X。,yo)在圆外时,过M点引切2yoyr。那么,在圆锥曲线中,又XoX联想一:(1)过椭圆2*1(0)上一点M(Xo,y°)切线方程为XoXaXo,yo)在椭圆2X-2a1的外部时,过M引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为:XoX~2"ayoy2证明:(1)笃a1的两边对X求导,2x~~2a2yyV0,得XXo学,由ayo点斜式得切线方程为yo李(XayoXo),即XoXayoyb22Xo-2a2yob2(2)设过椭圆2X~2a2yb21(abo)外一点M(Xo,yo)引两条切线,切点分别为A(X1,yj、B(X2,X2XY2Y2ab2X2XoY2Yo2ab2XoXyoy2ab2。又因y2)。由(1)可知过A、B两点的切线方程分别为: 2aX1XoM(Xo,yo)是两条切线的交点,所以有2ab2y』ob21。观察以上两个等式,发现A(x1,yj、B(x2,y2)满足直线,所以过两切点A、B两点的直线方程为XoXyoya2 b2评注:因M(xo,yo)在椭圆2X2a2芯1(abo)上的位置(在椭圆上或椭圆b外)的不同,同一方程辱与1表示直线的几何意义亦不同。联想三:(1)过圆锥曲线Ax2Cy2DxEyFa2 b2联想二:X(1)过双曲线令J1(ao,bo)上一点M(xo,yo)切线方程为ab22o o2-21;(2)当M(xo,yo)在双曲线X2笃1的外部时,过M引切线有两abab2条,过两切点的弦所在直线方程为:XoXyoy1。(证明同上)2ab222o(A,C不全为零)上的点xxo yyoM(Xo,yo)的切线方程为AxoxCyoyDoEo220(A,C不全为零)的外部时,过M引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为: Ax)xCy°yDx xo2Eyyo2证明:(1)两边对x求导,得2Ax2CyyEyxXo2AxoD,由点斜式得切线方程为2CyoEyo2Axo2CyoD|(xX。)化简得2Cyoy2Cyo2EyEyo2Ax0xDx2Axo2Dxoo因为Axo2Cyo2DxoEyoF22M(xo,yo)在圆锥曲线AxCyDxEyF由①一②X2可求得切线方程为:AxoxCyoy。勺产E七严F0(2)同联想一(2)可证。结论亦成立。根据前面的特点和圆上点的切线方程,得到规律:过曲线上的点 M(x0,y0)的切线方程为:把原方程中的x2用x°x代换,y2用y°y代换。若原方程中含有x或y的一次项,把x用乞^°代换,y用 代换,得到的方程即为过该点的切线方程。当点22M(xo,yo)在曲线外部时,过 M引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为:AxoxCyoyDx^x°E专0F0通过以上联想可得