定积分习题.docx

定积分习题.docx定积分习题
定积分习题
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此中 i , i 是 T 所属小区 △ i 中的随意两点 ,i=1,2 ⋯,n.
不求出定 分的 , 比 以下各 定 分的大小 :
1
1
(2) 2 xdx与 2 sin xdx.
(1)
xdx与 x 2 dx;
0
0
0
0
明以下不等式 :
2
dx
1
x2
(1)
;(2)1
e dx e ;
0
0
2
1 sin2
2
1
x
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2
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(3)
1
2 sin xdx
(4)3 e
4 e ln x
6.
0
dx
e
dx
x
2;
x
4. 设 f 在 [a,b]
上连续 , 且 f(x) 不恒等于零 , 证明
b
2
f
x dx 0.
a
5. 设 f 与 g 都在 [a,b]
上可积 , 证明
M (x)
max f (x), g( x) , m(x)
min f ( x), g( x)
x a ,b
x a ,b
在 [a,b]
上也都可积 .
6. 试求心形线 r a(1 cos ),0 2 上各点极径的均匀值 .
7. 设 f 在[a,b] 上可积 , 且在 [a,b] 上知足 f (x) m 0. 证明 1 在 [a,b] 上也
f
可积 .
进一步证明积分第一中值定理 ( 包含定理 和定理 ) 中的中值点ξ∈
(a,b).
证明 : 若 f 与 g 都在 [a,b] 上可积 , 且 g(x) 在[a,b] 上不变号 ,M、 m分别为
f(x) 在[a,b] 上的上、下确界 , 则必存在某实数μ (m≤μ≤ M), 使得
b
b
f (x)g ( x) dx
g( x)dx.
a
a
b
b
10. 证明 : 若 f 在[a,b] 上连续 , 且
f (x)dxxf ( x) dx 0, 则在 (a,b) 内起码
a
a
存在两点 x1,x 2, 使 f(x 1)= f(x
2)=0. 又若
b
x2 f ( x) dx 0, 这时 f 在(a,b) 内能否至
a
罕有三个零点 ?
设 f 在 [a,b] 上二阶可导 , 且 f " (x)>0 . 证明 :
(1) f a b
1