定积分习题.docx

定积分习题
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2
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(3)
1
2sinxdx
(4)3e
4elnx
6.
0
dx
e
dx
x
2;
x
[a,b]
上连续,且f(x)不恒等于零,证明
b
2
f
xdx0.
a
[a,b]
上可积,证明
M(x)
maxf(x),g(x),m(x)
minf(x),g(x)
xa,b
xa,b
在[a,b]
上也都可积.
(1cos),02上各点极径的均匀值.
[a,b]上可积,且在[a,b]上知足f(x)[a,b]上也
f
可积.
进一步证明积分第一中值定理()中的中值点ξ∈
(a,b).
证明:若f与g都在[a,b]上可积,且g(x)在[a,b]上不变号,M、m分别为
f(x)在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μ(m≤μ≤M),使得
b
b
f(x)g(x)dx
g(x)dx.
a
a
b
b
:若f在[a,b]上连续,且
f(x)dxxf(x)dx0,则在(a,b)内起码
a
a
存在两点x1,x2,使f(x1)=f(x
2)=
b
x2f(x)dx0,这时f在(a,b)内能否至
a
罕有三个零点?
设f在[a,b]上二阶可导,且f"(x)>:
(1)fab
1
b
a,b,则又有
f(x)dx;(2)又若f(x)0,x
2
b
aa
2b
f(x)f(x)dx,xa,b.
aa
证明:
1
1
1
1
1
n
(1)ln(1n)1
(2)
2
1.
L
1lnn;
limn
lnn
2
n
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§5微积分学基本定理·定积分计算(续)
定积分习题
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习
题
1．设f
为连续函数，u、v均为可导函数，且可推行复合
f°u与f°v证明：
d
v(x)
f(v(x))v'(x)
f(u(x))u'(x).
f(t)dt
dxu(x)