圆锥曲线的切线方程总结(附证明)(共3页).doc

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运用联想探究圆锥曲线的切线方程
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运用联想探究圆锥曲线的切线方程

现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆上一点的切线方程为；当在圆外时，过点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为。那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆上一点切线方程为；（2）当在椭圆的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
证明：（1）的两边对求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即 。
（2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分别为、。由（1）可知过、两点的切线方程分别为：、。又因是两条切线的交点，所以有、。观察以上两个等式，发现、满足直线，所以过两切点、两点的直线方程为。
评注：因在椭圆上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程表示直线的几何意义亦不同。
联想二：（1）过双曲线上一点切线方程为；（2）当在双曲线的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：。（证明同上）
联想三：（1）过圆锥曲线（A，C不全为零）上的点的切线方程为；（2）当
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在圆锥曲线（A，C不全为零）的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
证明：（1）两边对求导，得
得，由点斜式得切线方程为
化简得………………….①
因为………………………………………………… ②
由①－②×2可求得切线方程为：
（2）同联想一（2）可证。结论亦成立。
根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点的切线方程为：把原方程中的用代换，用代换。若原方程中含有或的一次项，把用代换，用代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点在曲线外部时，过引切线有两条，过两切点的