摘 要： “数形结合”既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。教师在教学中 经常引导学生创设“数形结合”的情境，不仅可以沟通数与形的内在联系，把代数式的精确 刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，从而在这种结合中寻找到解题的思想与：由题意可知:card(aQb)=3, card(aPl c)=3, card(b A c)=x，则 15+8+14-3-3-x=28，得 x=3。因此，同时参加田径和球类 比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9人。
利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题。
例2：若非空集合a=｛x|2a+lWxW3a-5｝, b=｛x|3WxW22｝,求使a?哿b成立的a的集
先在数轴上表示出集合b的范围，要使a?哿b,由包含于的关系可知集合b应该覆盖集 合a,因为a为非空集合，所以2a+lW3a-5, a±6。又Ta?哿b,如图所示：可知2a+1233a-5 V22,・・・lWaW9。综上所得：6WaW9。
因此,运用“数形结合”解题,往往会化抽象为具体,化复杂为简单,将集合的交、并、 补的关系直观、形象地显示而有利于运算。
二、利用“数形结合”解决方程和不等式问题
利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集。
一元二次不等式与一元二次函数(方程)之间的紧密关系是众所周知的。抛物线 y=ax +bx+c (a>0)与x轴的相关位置分为三种情况，这可以由一元二次方程ax +bx+c=O的判别 式<5 =b -4ac的三种取值情况来确定。因此，在解不等式时一定要注意最高项系数是否为正， 要分两种情况讨论。
例3：求不等式-x +2x-3>0的解集。
分析：我们先联想对应的二次函数y=-x +2x-3的图像草图，很明显，无论x取任何值时 都有yVO,即-x +2x-3V0,・・・-x +2x-3>0的解集为空集，因而-x +2x-3V0的解集为全体 实数。
因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物 线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式的解集。
利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题。
例4：已知关于x的方程2kx -2x-3k-2=0的两实根一个小于1,另一个大于1,求实数k 的取值范围。
分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组。如果从函数观点出 发，令f(x)=2kx -2x-3k-2,则由根的分布，函数f(x)的图像只能如图所示。对应的条件是 k>Of(1) V0 或 kVOf(1)>O。
解：由以上分析可知，令f(x)=2kx -2x-3k-2。为使方程f(x)=O的两个根一个小于1, 另一个大于1，只需使k>Of(1)VO或kVOf(1)>O,解得k>0或k<-4。
一般的，关于根的分布问题均可引入函数，由函数图像的特征构造解法，使问题得以巧 妙解决。
通过以上几道例题的分析求解，可知二次函数有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函 数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以 编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题 的能力。
利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题，即数形对照，相互渗透。
例 5：解方程 3 =
以形助数,以数辅形 来自淘豆网m.daumloan.com转载请标明出处.
