立体几何中球的内切和外接问题.ppt

球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体
的棱长a有什么关系?
SPALDING
球体的体积与表面积
0V球=2ZR②S
球面
4兀R
二、球与多面体的接、切
定义1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,
则称这个多面体是这个球的内接多面体,
这个球是这个多面体的外接球。
定义2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切
则称这个多面体是这个球的外切多面体,
这个球是这个多面体的内切球。
1
剖析定义
由球心的定义确定球心
在空间,如果一个定点与一个简单多面体的
所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简
单多面体的外接球球心。
1
定义法针对讲解
例1、在矩形ACD中,AB=4,EC=3,沿A将矩形ACD折成个直二
面角B-A-D,则四面体ABCD的外接球的体积为
D
解设矩形对角线的交点为O,则由矩形对角线互相平分,可知
0B=OC=0D.∴点到四面体的四个顶点厶臥、C、D的距离相
等,即点C为四面体的外接球的球心,如图2所示.∴外接球的半径
选
图4B
2
求正方体、长方体的外接球的有关问题
①出现“墙角”结构利用构造法(补形法),联系长方体。
【原理长方体中从一个顶点出发的三条长分删为4:,则体对角线长为1=+8“5,即:2=+2
例1、若三棱锥的三个侧面两两垂直且侧棱长均为5,则其外接球的表面积是
解据题意可知,该三棱锥的三条惻棱两两垂直,∴把这个三棱锥可以补
成一个枝长为的正方体,于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球
功其外接球的半径为,则有(2=时-(时+=9…
故其外接球的表面积S=4xR2=9
2
求正方体、长方体的外接球的有关问题
②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法),联系正方体。
例2.(全国卷)一个四面体的所有棱长都为√2,四个顶点在
同一球面上,则此球的表面积为(

解析:由于所有棱长都相等,所以构造一个正方体,再寻找
棱长相等的四面体,如图2,四面体A-BDE满足条件,
务线为小,从而外接球的直径也为,所以此球的表面积便…7:
AB=AD=AE=BD=DE=5=√2,由此可求得正方体的棱长为1,体对
B
求得,故选A
破译规律特别提醒
2
类型1:正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角的三棱
锥,都可构造正方体。
类型2同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥,
都可构造长方体或正方体。
类型3:若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将校锥补成长方体或正方体。
类型4:若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体。
球与正四面体内切接问题
【例3】求棱长为a的正四面体内切球的体积
解析设内切球的半径为r,正四面体每个面的面积
为,,a,的-=,高为雪,
正四面体的体积为1,
以内切球的球心为顶点,以四面体的面为底面的四个
三枝锥的庶面积都是℃a2,高都是r
正四面体的体积也为
于是Y32
,解得ri2
球的体积为4r/6156
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球与正四面体内切接问题
正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内
切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的
棱长的关系如图4,设止四面体S-ABC的棱长为,内切球半径
为”,外妾球的半径为R,取AB的中点为D,E为S在底面的射
影,连接CD,,作一个A
与边D和DC相切圆心在高SE上的圆,即为内切球的载面因为
正四面体本身的对称性可知,,
图4
则有
,解得:
√5√6
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正四面体内切、外接结论
球内接长方体的对角线是球的值径。正四面
体(棱长为a)的外接球芈径R与内切球芈径r之此
为R:r=3::R=a
内切球径:r=6
结论:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证出,内切球
和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即定
有内切球的半径r=h(为正四面体的高),且外接球的半径R=37
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。